因此  在  上一致连续。

5. 存在两个具有最小正周期的函数，它们之间无可公度的周期，但其和（积）仍为周期函数

对于两个具有同一周期  的函数  和 ，其和、差、积、商均以  为周期，这等价于  的某周期  与  的某周期  可公度（即  为有理数）。我们自然要问：要使两个周期函数的和、差、积、商仍为周期函数，是否它们必须有可公度的周期？答案是否定的。下面仅考虑和与积的情形。

第一例 (a)

任取三个正数 ，使它们两两无公度。对每个区间 （），定义  中两点  的等价关系：

该关系满足： (i) 自反性：； (ii) 对称性：若 ，则 ； (iii) 传递性：若 ，，则

将  按此等价关系分类，每类记为 ，则

从每类  中选代表点 ，则同一类中任意点可表示为

定义函数 ：对代表点 ，令 ；对  中任一点 ，令

其中  且 。易验证  在  内是单射，且以  为周期，无小于  的周期。

对任意实数 ，存在唯一的  使 ，定义

则  以  为周期，且

由 ，得

即  以  为周期，而  与  无可公度的周期。

第一例 (b)

取第一例 (a) 中的 ，令 ，则

因  为周期函数，故  也为周期函数，且  与  无可公度的周期。

第二例 (a)

设

定义

显然  以  为最小正周期， 以  为最小正周期。对任意 ，，故  是周期函数，而  与  的最小正周期无可公度。

一、非周期函数判定方法清单

第二例 (b) 取第二例 (a) 中的 ，令 ，则 ，故  为周期函数，而  与  无可公度的周期。

注：第一例 (a) 中的两个函数都是无界的，它们具有相同的定义域。

定理：设  与  是具有相同定义域的周期函数，若对任意实数 ， 或为常值函数或有最小正周期，且  和  中至少有一个有界，则  为周期函数的充要条件是它们之间有可公度的周期。

第二例 (a) 说明该定理对定义域不同的函数不适用。

三、黎曼猜想

1.复数

• 复数是形如, 其中 是实数，且的数字。复数可以加、减、乘、除——用术语说，复数构成一个数域 (field). 复数也可以用模和辐角写成的形式。

• 我们可以把实数画在数轴上，在复数的情形，因为有两个实数，所以每个复数可以对应于平面上的一个点，这个平面叫复平面。上述的对应于复平面上的直角坐标，对应于复平面上的极坐标。

• 很多我们熟悉的函数，比如多项式函数，正弦、余弦 、指数函数，都可以扩展到整个复平面上，成为一个复变量的复值函数：即输入的值 是一个复数，输出的值比如 也是一个复数。指数函数的扩展定义为可以看见， 即 是实数的时候，函数值就是对实数定义的指数函数的值，这就是 “扩展” 两个字的意思。（实际上，高中见过的函数，基本上都可以做到这一点，除了对数函数的情形要稍微复杂一些。）

2.神秘函数

• 有个神秘的函数叫 泽塔函数），欧拉和黎曼都研究过。这个函数的原始定义并不太复杂，但要用到一个无穷求和：

• 对欧拉而言，括号里的是实数，函数值也是实数。这时候从这个函数出发能发现一些信息——比如欧拉用这个函数给了 “素数有无穷多个” 这个结论的一个证明。欧拉也得到过

这一结论。

• 也许读者隐约能感受到，这函数跟素数有点关系。但这还没发挥这个函数的全部威力。黎曼观察到，把这个定义看做一个复变量的复值函数更加厉害。得到的复值函数叫黎曼函数。

• 当是复数的时候 是什么意思呢？根据定义，，其中 是前面提到的复变量指数函数， 是 的自然对数。给定复数 , 对每个自然数 计算 , 再对全体 求和，得到的结果就是 在 这一点的值.

。

• 上面的求和并不总收敛——比如的时候它就是发散的，但是我们可以证明， 当a>1$的时候，这个求和是收敛的，因为总有

（下文一律用表示的实部。）

• 实部的复数是复平面上的一条竖线，这样我们就得到了在这条竖线右边（即实部大于 1 的地方）的定义。而且这个函数有个很好的性质，即它在这条线右边是一个全纯函数。

3.的性质

• 函数有个很好的性质，即在线的右边是一个全纯函数。

• 事实上，在竖线的左边更有趣一些——但是怎么把的定义扩展到那条线左边呢？这里说的扩展，不是随便写个定义（比如竖线左边的函数值定义成都是 0），而是保持那个 “很好的性质” 的扩展。

• 直接给个简单粗暴的办法，理由不赘：考虑, 这在实部大于 1 的时候有定义，随便找个有定义的点，比如在那一点，做个泰勒展开：

其中是某个复数。右边这个幂级数，在整个复平面上都收敛（注：这里只是给一个直观的印象，没有解释原因，想知道的可以搜 “zeta 函数的解析延拓”，解析延拓一般也不是证明这个收敛性，而是用其它方法找到 zeta 函数隐藏的对称性——比如泊松求和公式）。如果把右边这个幂级数定义的函数记作的话， 是整个复平面上的全纯函数。 就能当做黎曼 函数在复平面上的定义，这是复平面上的一个亚纯函数。它有很好的对称性（一个密切相关的函数，，满足一个很对称的函数方程.）。

4.黎曼函数的零点

• 黎曼函数的值什么时候是 0 呢？有一系列不太有趣的答案：在 的时候它是 0. 但是不止这些，它在这条狭长的带子上，还可能有零点！这些零点叫非平凡零点。

• 而且，这些零点包含了关于素数的很重要的信息——比如，可以用来计算小于某个数的素数的个数——关键词 Chebyshev function exact formula 请自行搜索。而著名的关于素数的渐近分布的素数定理，等价于在上没有零点（不深入计算很难想象，仅仅在实部为 1 这条线上没有零点这个信息就包含了那么丰富的内容）。所以，这些零点很重要。

• 关于这些零点，黎曼在 1859 年做出了个重要的猜想，即

黎曼假设：的非平凡零点，都位于这条直线上。

• 这个猜想至今没被证明。如果它成立，数论里关于素数分布的几乎所有结果，都可以往前迈一大步。