前言

复旦大学26考研数学分析压轴题果然不一般呐！计算极限还要说明计算过程的合理性，另外这道极限的计算题可真不太好做。

难就难在第一步，一旦思路打不开，本题根本无从下手！

题目

计算极限

并说明计算过程的合理性。

分析

本题的关键在于通过正交变换将椭圆区域转化为圆形区域（实际上是极坐标下的简单边界），并利用极坐标和变量替换将奇异积分转化为积分。

解析

我们先作正交变换消去交叉项。令

则

其  行列式为 . 再令极坐标 , ，则

其中 . 此时区域条件  即 . 故

令 ，则

当  时，；当  时，. 故

因此

当  时，，内层积分趋于

与  无关。故

这里被积函数在原点有奇性，但通过变量替换  将其转化为  积分，其极限存在且与被挖的椭圆孔形状无关，因此极限计算是合理的。

注

本题通过正交变换  将椭圆区域标准化，简化了积分区域。为了处理被积函数在原点的奇异性，采用挖去椭圆邻域  再取极限  的方法。关键步骤是通过变量替换  将内层积分化为经典的  积分

值得注意的是，该极限值与挖洞的具体形状无关，只要洞是收缩到原点的光滑区域即可，这体现了广义积分的收敛性。

复旦难的还真不是数分

看过复旦大学数学专业真题的应该都知道，复旦的数学分析难度不算小，但放在复旦的这份试卷中，根本不算最难的，因为后面还有实变和抽代！

浙大和上交相比复旦而言，应该算是仁慈了很多，数分题目再难，应该也不太可能比过实变和抽代吧，复旦初试考的科目太多了，难度也都比较大。