2018年四川大学 高等数学上册期末考试试卷 第56套 高等数学学习指导 高等数学10000题 微信公众号:大学数学云课堂

高等数学上册极限知识点总结如下

极限思想是整个微积分学的基石。它描述了一个变量在无限变化过程中无限趋近于某个确定值的变化趋势。这种“无限逼近”的思想是理解导数、积分等核心概念的钥匙。

数列极限与函数极限是主要研究对象。数列极限关注项数无限增大时数列通项的变化趋势。函数极限则分为自变量趋于有限值和趋于无限大两种情况，分别描述了函数在局部或远处的行为。极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。

极限的性质与运算法则。极限具有唯一性、有界性和保号性等重要性质。四则运算法则在极限存在的前提下允许对函数进行加、减、乘、除运算后分别求极限。复合函数求极限则要求内外层函数的极限过程相互匹配。

两个重要极限是基础性结论。第一个是当变量趋于零时，正弦函数与其自变量之比的极限为一定值。第二个是涉及自然底数的幂指函数在变量趋于无穷时的极限形式。这两个极限是推导许多导数公式和计算复杂极限的基础。

极限存在的判定准则。夹逼准则是通过两个已知极限的函数来控制第三个函数的极限。单调有界准则是判断数列极限存在的有力工具，即单调递增且有上界（或递减有下界）的数列必有极限。这些准则在处理无法直接计算的极限时尤为重要。

无穷小与无穷大的概念。无穷小是以零为极限的变量。无穷小量之间的比较（高阶、同阶、等价）是简化极限计算的核心技术。等价无穷小替换是求极限时非常有效的方法。无穷大则是绝对值无限增大的变量，与无穷小存在倒数关系。

极限的应用贯穿始终。它是定义函数连续性的基础：函数在某点连续意味着该点的极限值等于函数值。导数本身就是一种特殊的极限（差商的极限）。定积分则是通过极限（黎曼和的极限）来定义的。因此，熟练掌握极限的概念与计算是学好高等数学的前提。

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