对于备战考研数学的考生来说，三重积分既是重点也是难点。它不仅考察对空间几何的理解能力，还要求熟练掌握多种坐标系的转换和积分技巧。
三重积分的本质是空间物体的质量计算。设空间区域Ω内任意一点(x,y,z)的体密度为f(x,y,z)，则该物体的总质量M可表示为：
其中dV为体积微元，在直角坐标系下通常表示为dxdydz。当f(x,y,z)=1时，三重积分退化为区域Ω的体积计算。
积分区域Ω的几何形状直接影响计算方法的选择。常见类型包括：
· 柱体：如圆柱面x²+y²=a²与平面z=0、z=h围成的区域
· 锥体：如锥面z=√(x²+y²)与平面z=1围成的区域
· 球体：如球面x²+y²+z²=a²围成的区域
· 椭球体：如椭球面x²/a² + y²/b² + z²/c² =1围成的区域
关键点：考生需掌握常见曲面的方程形式，并能快速绘制其空间示意图。例如，球面方程x²+y²+z²=a²表示以原点为中心、半径为a的球体；而x²/a² + y²/b² + z²/c² =1则表示沿x、y、z轴方向分别拉伸a、b、c倍的椭球体。
适用场景：积分区域边界可明确表示为z=z₁(x,y)和z=z₂(x,y)的形式。
方法分类：
· 先一后二法（投影穿线法）：
① 先对z积分：∫_{z₁(x,y)}^{z₂(x,y)} f(x,y,z) dz
② 再对xy平面投影区域Dxy积分：∬{Dxy} [∫{z₁}^{z₂} f dz] dxdy
· 先二后一法（截面法）：
① 先对xy平面截面Dz积分：∬_{Dz} f(x,y,z) dxdy
② 再沿z轴方向积分：∫a^b [∬{Dz} f dxdy] dz
典型例题：
计算∭_Ω (z²+2xy) dV，其中Ω由锥面z=√(x²+y²)和平面z=2围成。
解析：
① 观察对称性：区域关于xOz平面对称，且2xy关于y为奇函数，故∭2xy dV=0
② 剩余部分仅需计算∭z² dV
③ 采用先一后二法：
z范围：0→2
xy投影：x²+y²≤4（圆域）
最终结果：∫0^2 z² dz ∬{x²+y²≤4} dxdy = (8/3)·4π = 32π/3
适用场景：积分区域与圆柱面相关，或被积函数含x²+y²项。
坐标变换：
体积微元：dV = ρ dρ dθ dz
典型应用：
计算∭_Ω (x²+y²) dV，其中Ω由圆柱面x²+y²=1和平面z=0、z=2围成。
解析：
① 柱面坐标变换后，被积函数变为ρ²
② 积分限：
ρ：0→1
θ：0→2π
z：0→2
③ 计算过程：
适用场景：积分区域为球体或与球体相关，或被积函数含x²+y²+z²项。
坐标变换：
体积微元：dV = r² sinφ dr dφ dθ
典型应用：
计算∭_Ω (x²+y²+z²) dV，其中Ω为球体x²+y²+z²≤a²。
解析：
① 球面坐标变换后，被积函数变为r²
② 积分限：
r：0→a
φ：0→π
θ：0→2π
③ 计算过程：
核心技巧：
· 奇偶性：若区域关于xOy平面对称，且f(x,y,-z)=-f(x,y,z)，则∭f dV=0
· 轮换对称性：若区域在x、y、z轮换下不变，则∭x f dV = ∭y f dV = ∭z f dV
典型例题：
计算∭_Ω x dV，其中Ω由球面x²+y²+z²=a²围成。
解析：
① 区域关于x、y、z轮换对称
② 由轮换对称性，∭x dV = ∭y dV = ∭z dV
③ 又因∭(x+y+z) dV = 3∭x dV
④ 但x+y+z在Ω上关于原点对称，故∭(x+y+z) dV=0
⑤ 因此∭x dV=0
例题：
求由锥面z=√(x²+y²)和平面z=1围成的均匀物体的质心。
解析：
① 密度ρ为常数，可约去
② 由对称性，质心在z轴上，故x̄=ȳ=0
③ 计算z̄：
例题：
求半径为a的均匀球体关于其直径的转动惯量。
解析：
① 由对称性，I_x=I_y=I_z
② 总转动惯量I=I_x+I_y+I_z=3I_z
③ 又知I=(2/5)ma²（物理公式）
④ 故I_z=(2/15)ma²
⑤ 数学验证：
三重积分的学习需要“理论理解+图形辅助+计算训练”三管齐下。建议考生在掌握基础方法后，重点突破球面坐标系和对称性应用这两个高频考点。
