枚举算法：GESP三级考试的“送分题”与“送命题”分水岭

各位备考2026年3月GESP三级考试的同学们，我是老马。今天我们来深入分析一个在历年考试中出现频率极高、分值比重较大的考点——枚举算法。

从两道经典真题看枚举算法的考查重点

真题一：完全平方数（2024年03月）

【提交】

https://www.luogu.com.cn/problem/B3957

【问题描述】

小杨同学有一个包含  个非负整数的序列 ，他想要知道其中有多少对下标组合 ，使得  是完全平方数。

如果  是完全平方数，则存在非负整数  使得 。

【输入描述】

第一行一个非负整数 ，表示非负整数个数。

第二行包含  个非负整数 ，表示序列  包含的非负整数。

【输出描述】

输出一个非负整数，表示和是完全平方数的非负整数对数。

【样例输入1】

51 4 3 3 5

【样例输出1】

3

【样例输入2】

23 5

【样例输出2】

0

对于全部数据，保证有 ，。

题目要求：统计序列中有多少对元素之和为完全平方数

核心解法：双重循环枚举

for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {int s = arr[i] + arr[j];if (int(sqrt(s)) * int(sqrt(s)) == s) {            cnt += 1;        }    }}

算法特点：

• 时间复杂度：O(n²)
• 数据规模：n ≤ 1000，允许O(n²)算法
• 考查重点：组合枚举、数学条件验证

真题二：寻找倍数（2024年06月）

【提交】

https://www.luogu.com.cn/problem/B4004

【问题描述】

小杨有一个包含  个正整数的序列 ，他想知道是否存在  使得  是序列  中所有数的倍数。

【输入描述】

第一行包含一个正整数 ，代表测试用例组数。

接下来是  组测试用例。

对于每组测试用例，一共两行。其中，第一行包含一个正整数 ；第二行包含  个正整数，代表序列 。

【输出描述】

对于每组测试用例，如果存在  满足对于所有  是  的倍数，输出 Yes，否则输出 No。

【样例输入1】

231 2 451 2 3 4 5

【样例输出1】

YesNo

【样例解释】

对于第一组数据，对于 ，满足  是  和  的倍数。

【数据范围】

对于全部数据，保证有 。

题目要求：判断是否存在一个元素是所有其他元素的倍数

核心解法：极值枚举+线性验证

int max_v = 0;for (j = 0; j < n; j++) {if (A[j] > max_v) {        max_v = A[j];    }}for (j = 0; j < n; j++) {if (max_v % A[j] != 0) {break;    }}

算法特点：

• 时间复杂度：O(n)
• 数据规模：n ≤ 10⁵，必须使用O(n)算法
• 考查重点：极值查找、整除关系验证

枚举算法的两种模式与应对策略

模式一：完全枚举（暴力搜索）

适用场景：

• 数据规模较小（n ≤ 1000）
• 需要检查所有可能的组合
• 问题无法通过数学性质优化

解题模板：

for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {// 验证(i,j)组合是否满足条件if (checkCondition(arr[i], arr[j])) {            count++;        }    }}

模式二：优化枚举（数学性质利用）

适用场景：

• 数据规模较大（n ≥ 10⁴）
• 问题具有特殊的数学性质
• 可以通过极值、排序等预处理优化

解题模板：

// 预处理：查找极值、排序、建立索引等int candidate = findCandidate(arr, n);// 线性验证for (int i = 0; i < n; i++) {if (!isValid(candidate, arr[i])) {returnfalse;    }}

2026年3月考试预测与备考建议

考查趋势分析

基于2023-2025年的命题规律，我认为2026年3月的枚举算法题目将呈现以下特点：

1. 结合实际场景：可能结合生活化的场景，如物品配对、资源分配等
2. 混合考查：可能将枚举与其他知识点（如字符串处理）结合
3. 效率要求明确：数据规模的设计会明确提示所需的算法复杂度

四阶段备考计划

第一阶段（现在-1月底）：基础夯实

• 熟练掌握双重循环和单重循环的编写
• 练习各种数学条件的判断（完全平方数、素数、整除等）

第二阶段（2月初-2月中旬）：真题训练

• 重点练习2024-2025年的枚举类题目
• 总结解题模板和优化技巧

第三阶段（2月下旬-3月初）：模拟冲刺

• 进行限时模拟训练，提高解题速度
• 针对薄弱环节进行专项突破

第四阶段（考前一周）：心理调整

• 复习常见错误案例
• 保持良好作息，调整竞技状态

老马的实战技巧分享

代码编写规范

1. 变量命名：使用有意义的变量名（如max_val、pair_count）
2. 边界处理：特别注意循环的起始和终止条件
3. 提前剪枝：发现不满足条件时及时break，提高效率

调试技巧

// 调试技巧：输出中间结果for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {int s = arr[i] + arr[j];int root = int(sqrt(s));cout << "检查对(" << i << "," << j << "): " << arr[i] << "+" << arr[j] << "=" << s;cout << " 平方根=" << root << " 验证=" << root*root << endl;if (root * root == s) {            cnt += 1;        }    }}

总结

枚举算法是GESP三级考试的基础得分点，也是区分考生编程能力的重要标尺。通过系统掌握完全枚举和优化枚举两种模式，同学们可以在考试中游刃有余。

记住老马的三句备考箴言：

1. 小数据暴力，大数据优化
2. 数学性质是优化的金钥匙
3. 边界条件处理决定得分高低

相信通过认真准备，大家一定能在2026年3月的考试中取得优异成绩！