河海大学 2026 年数学分析真题

一、判断题

1. 设  及  是实数列，如果对所有  都有 ，那么  是基本数列（Cauchy 列）。
2. 设  是连续函数  的极小值点，则存在 ，使得  在  上单调递减，在  上单调递增。
3. 设  在  上黎曼可积，则存在可导函数 ，使得 。
4. 设实数列  满足 ，且 ，则级数  收敛。

二、叙述题

1. 写出“当  时，函数  的极限为负无穷大”的否定命题的分析表达式。
2. 叙述判断反常积分  收敛的 Abel 判别法。
3. 叙述判定函数项级数  关于  在集合  上一致收敛的 Cauchy 收敛原理。
4. 叙述二元函数  在点  处可微的定义。

三、计算与证明

1. 计算极限 。
2. 计算不定积分 。
3. 求幂级数  的收敛域及和函数。
4. 设 ，且  是  上的可微函数。证明：对任意  及 ，成立  的充要条件是对任意的 ，成立

1. 计算曲面积分

其中  是曲面 ，方向取上侧。 14. 设  和  在  上二阶可导，且 。 (1) 证明：对任意的 ，都有 。 (2) 证明：存在 ，使得 。 15. 设 。 (1) 证明：反常积分  关于  在  上内闭一致收敛。 (2) 证明： 是  上的可导函数，且满足方程

1. 设  在  上连续，且满足 $0<m\le f(x)\le="" m$，证明：<="" section="">

1. 设 ，对级数  加括号得到

其中每个括号内的  具有相同的符号，相邻括号内  的符号不同。记 ，且

(1) 证明： 和  具有相同的敛散性。 (2) 证明： 是收敛的，其中  是取整函数，表示不超过  的最大整数。

河海大学 2026 年高等代数真题

一、填空题

1. 设 ，若  为正整数，则  ____________.
2. 设  为三阶矩阵，，则  ____________.
3. 设三阶矩阵 ，三维列向量 ，已知  与  线性相关，则  ____________.
4. 设  维向量 ， 是  阶单位矩阵，矩阵 ，其中  的逆矩阵为 ，则  ____________.
5. 设  是复数域  上的  阶方阵，特征多项式为 ， 是两个不等的复数。若  的任意三个特征向量都是线性相关的，则  的 Jordan 标准形为 ____________.

二、计算题

1. 设  的伴随矩阵为

且 ，其中  为 4 阶单位矩阵，求矩阵 . 7. 已知方程组

与方程组

同解，求  的值以及方程组的通解. 8. 设  是实数域  上的三维线性空间， 和  是  的两组基，设  是  上的线性变换， 在基  下的矩阵为 ， 在基  下的矩阵为 ，其中

求  的值，并求由基  到基  的过渡矩阵 . 9. 设  阶实对称矩阵  满足 ，且 ，又已知  的正惯性指数为 ， 表示单位矩阵，求  的值. 10. 已知

且二次型  的秩为 2. (1) 求  的值. (2) 求正交变换将  化为标准形.

三、证明题

1. 已知  分别为  阶， 阶实对称矩阵，若  为正定矩阵，判断矩阵  是否为正定矩阵，并证明你的结论.
2. 设  阶方阵  和  满足 ，且  相似于对角矩阵，证明：存在可逆矩阵 ，使得  都是对角矩阵.
3. 设  是数域  上两个互素的多项式， 是  中的任意多项式，且  的次数分别小于  的次数。证明：存在多项式 ，被  除余式为 ，被  除余式为 .
4. 设  是  矩阵， 是  矩阵， 是  矩阵。记  表示矩阵  的秩. (1) 求证：若矩阵方程  有解，则  且 . (2) 请问 (1) 中逆命题是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，给出反例. (3) 在什么情况下，(1) 中的解是唯一的？请证明结论.
5. 解答如下问题： (1) 已知复数域上的  阶方阵

记  是方程  的  个复根。证明：对任意的 ，向量  是矩阵  的特征向量. (2) 设  为复数域上的 4 阶幂等阵 ，证明：存在 4 个复数 ，使得  相似于

2026 年天津大学数学分析考研真题

1. （10 分）设  是  上的连续函数，且  在原点沿任意方向的方向导数存在。问： 在原点是否一定可微？若可微，给出证明，若不可微，给出反例.
2. （15 分）已知 ，证明： (1)  在  上非一致连续. (2)  在在  上一致连续.
3. （15 分）已知函数 ，其中  为常数。求该函数在区间  的傅里叶级数，并证明 .
4. （10 分）设函数  在  的任何有限闭区间上可积，令

已知  收敛，证明： 在  时收敛. 5. （15 分）设 ，且  对所有  成立，证明：

1. （15 分）设  是  的映射，在原点可微且 ，若

证明：存在 ，使得当  时，恒有 . 7. （15 分）解答下列问题：设 ，且 ，以及

(1) 试证明存在 ，使得方程①在  上有唯一连续解 ，满足 . (2) 试求  在  处的一阶泰勒公式. 8. （20 分）设  是  中的单位开球，函数  满足： (i)  是  上的非零函数. (ii) (iii) 存在 ，使得在  上有 . (1) 证明：. (2) 证明：. 9. （20 分）设  是严格单调递增趋于  的数列，且

(1) 证明：.  \tag{②} (2) 计算极限 ，其中  为正整数. 10. （15 分）证明： 是无理数.

浙江大学 2026 年数学分析试卷

一、计算题. 需给出计算过程或依据. 共 40 分.

1. 设 ，求极限 .
2. 设  在区间  上可导，且 ，求极限 .
3. 设 ，求极限 .
4. 设  是  介于  与  之间的部分，并取外侧为正向，计算第二型曲面积分

二. （15 分）

设 ，请讨论  在  上的连续性与可导性（需说明理由）.

三. （10 分）

证明：设  在区间  上只有第一类间断点，则  是  上的有界函数.

四. （15 分）

设  在区间  上二阶可导，且 ，若 ，证明：存在 ，使得 .

五. （15 分）

证明：函数  在  上一致连续，其中 ，但在  上不一致连续.

六. （15 分）

设 ，定义 ，证明：数列  收敛，并求 .

七. （15 分）

设 ，定义 ，证明：存在与  无关的常数 ，使得 .

八. （15 分）

设  是区间  上的有界函数，定义

证明：存在常数 ，使得对任意 ，有 .

九. （10 分）

证明：函数  在  处连续.

浙江大学 2026 年高等代数试卷

一. 填空题.

1. 假如  是 4 阶整数矩阵，其有特征值 ，那么在复数范围内  的相似标准型为_______，_______.
2. 设二次型 ，当  满足_______时， 是正定的，当  满足_______时， 的负惯性指数是 1.
3. 已知  是实数域上次数小于等于 3 的多形式组成的线性空间，当 时，该线性空间中满足  的多项式集合是  的子空间，关于内积  下该子空间的单位正交基为.
4. 已知 ， 是由它们张成的线性空间，那么从基  到基  的过渡矩阵为_______，向量组  的秩等于_______.
5. 设矩阵  的秩等于 3， 不等于零， 有解

那么  的通解用  表示为_______，给出一个所有解集合的极大线性无关组_______.

二. 解答题.

1. 设  是实数域中互素的多项式，证明： 的重根为  的根.
2. 令  是  张成的线性空间， 是线性变换  的核，其中

求  及  的基和维数. 3. 已知矩阵  的极小多项式为 ，而  是互异的实数。假设

证明：. 4. 设 ， 为所有满足  的  的可逆实矩阵  的集合。若由  实矩阵  组成的分块矩阵  属于 ，证明：复矩阵  为可逆矩阵. 5. 假如  的伴随矩阵， 的行列式等于 ， 是  的对应特征值  的特征向量，求  所相似的 Jordan 标准型. 6. 假如  是实数域上  维线性空间上的线性变换，满足 ，且  是幂零的，如果 ，证明： 和  有相同的迹.

国防科技大学 2026 年数学分析与高等代数试卷(回忆版)

（注. 题目来自考生回忆，部分表述或数据可能有误）

1. 令 (1) 证明： 在实数范围内处处不存在极限. (2) 构造 ，使其在  和  处连续，其余点处均不连续.
2. 已知 ，求 .
3. 给定  的两组基

线性变换  满足 . (1) 求由基  到  的过渡矩阵. (2) 写出  在基  下的矩阵. 4. 未知. 5. 计算 ，其中 . 6. 令 . (1) 证明： 在有理数域上不可以对角化. (2) 证明： 在复数域上可以对角化. 7. 设  为大于 2 的正整数)，证明： 在  上不一致连续. 8. 设  在  上连续可导，且 ，证明：. 9. 证明： 收敛. 10. 设  阶实对称矩阵  的全部特征值按大小顺序排列成 ，证明：

2026 年厦门大学数学分析考研真题

一、（15 分）

若实数 ，级数  发散，记 。证明：级数  发散.

二、（15 分）

证明：极限  存在.

三、（20 分）

设  是定义在闭区间  上的连续可微函数，且满足 ，证明：

四、（20 分）

设函数  在  内三阶可导，且  和  在  内有界，证明： 和  在  内有界.

五、（20 分）

设  是定义在  上的非负连续函数，满足：

证明：.

六、（20 分）

将  中的点记为 ， 中以原点为圆心， 为半径的开球记为 ，其边界为 ，设  具有连续的偏导数，且满足 ，证明：

七、（20 分）

设  是曲面  与  所围成的立体，其中 ，计算三重积分 .

八、（20 分）

设  在  上连续， 是  的傅里叶系数，证明：级数  和  均收敛.

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