在考研数学中，二重积分作为多元函数微积分学的核心内容，既是高频考点，也是考生易失分的难点。其计算不仅需要扎实的积分基础，更考验对积分区域、被积函数特性的综合分析能力。
二重积分的性质是简化计算的关键工具，掌握以下性质可避免冗余计算：
· 线性性质
∬_D [af(x,y) + bg(x,y)]dσ = a∬_D f(x,y)dσ + b∬_D g(x,y)dσ。
应用场景：当被积函数为多项式或线性组合时，可拆分积分分别计算。
· 积分区域可加性
若区域D被分割为D₁和D₂，则∬_D f(x,y)dσ = ∬_D₁ f(x,y)dσ + ∬_D₂ f(x,y)dσ。
应用场景：复杂区域可拆分为规则子区域（如矩形、圆形）分别计算。
· 对称性
① 普通对称性：若D关于x轴对称，且f(x,-y)=-f(x,y)（奇函数），则∬_D f(x,y)dσ=0；若f(x,-y)=f(x,y)（偶函数），则∬_D f(x,y)dσ=2∬_D₁ f(x,y)dσ（D₁为D上半部分）。
② 轮换对称性：若D关于y=x对称，则∬_D f(x,y)dσ=∬_D f(y,x)dσ。
应用场景：被积函数含xy、x²+y²等对称项时，可大幅简化计算。
· 积分中值定理
若f(x,y)在闭区域D上连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬_D f(x,y)dσ = f(ξ,η)·σ(D)，其中σ(D)为区域面积。
应用场景：证明积分等式或估计积分值范围。
直角坐标系下的累次积分
步骤：
① 确定积分区域类型：
· X型区域：D可表示为a≤x≤b，φ₁(x)≤y≤φ₂(x)。
· Y型区域：D可表示为c≤y≤d，ψ₁(y)≤x≤ψ₂(y)。
② 选择积分顺序：根据被积函数形式选择先对x或y积分。若直接积分困难，需交换积分顺序。
· 关键技巧：画出积分区域草图，明确积分限关系。
例题：计算∬_D xydσ，其中D由y=x，y=0，x=1围成。
解析：
· D为X型区域：0≤x≤1，0≤y≤x。
· 累次积分：∫₀¹ x dx ∫₀ˣ y dy = ∫₀¹ x·(x²/2) dx = 1/8。
交换积分顺序示例：
若原积分顺序导致被积函数复杂（如含1/y项），需重新描述D为Y型区域：0≤y≤1，y≤x≤1，再计算。
极坐标变换：化“圆”为“简”
适用场景：积分区域为圆形、扇形或被积函数含x²+y²、xy（需配方法）时。
变换公式：x = rcosθ，y = rsinθ，dσ = r dr dθ。
步骤：
① 确定极坐标下的积分限：
· 极点在区域内部：0≤r≤R，0≤θ≤2π。
· 极点在区域边界：如r=a到r=b，θ=α到θ=β。
② 将被积函数转换为极坐标形式。
例题：计算∬_D e^(x²+y²)dσ，其中D为x²+y²≤1。
解析：
· 极坐标变换：x²+y²=r²，dσ=r dr dθ。
· 积分限：0≤r≤1，0≤θ≤2π。
· 计算：∫₀²π dθ ∫₀¹ e(r²) r dr = 2π·(1/2)(e(r²)|₀¹) = π(e-1)。
注意：极坐标下面积微元为r dr dθ，易漏r导致错误。
变量替换法（广义极坐标）
当积分区域为椭圆、双曲线等非标准图形时，可通过变量替换化为规则区域。
步骤：
① 设变换公式（如x=au，y=bv）。
② 计算雅可比行列式J=∂(x,y)/∂(u,v)。
③ 将积分转换为新变量下的形式。
例题：计算∬_D (x²/a² + y²/b²)dσ，其中D为x²/a² + y²/b² ≤1。
解析：
· 变换：x=au，y=bv，则D变为u²+v²≤1。
· 雅可比行列式J=ab。
· 原式=ab∬_D (u²+v²)dσ（D为单位圆），再转换为极坐标计算。
分部积分法与积分恒等式
结合格林公式或高斯公式，可将二重积分与曲线积分、曲面积分关联，但考研中较少直接考察，需根据题目灵活应用。
· 积分顺序错误：未正确分析区域类型导致积分限错误。
避坑方法：画图辅助，明确先对谁积分。
· 极坐标漏r：忘记面积微元中的r，导致结果错误。
避坑方法：牢记dσ=r dr dθ。
· 对称性误用：未验证被积函数奇偶性或区域对称性直接使用。
避坑方法：对称性需同时满足“区域对称”和“函数对称”两个条件。
· 积分限混淆：交换积分顺序时未重新确定积分限。
避坑方法：根据新顺序重新描述区域边界。
例题：计算∬_D |xy|dσ，其中D由x²+y²≤1围成。
解析：
① 利用对称性：D关于x轴、y轴对称，且|xy|为偶函数，故原式=4∬_D₁ |xy|dσ（D₁为第一象限部分）。
② 极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，|xy|=r²|cosθ sinθ|=r²cosθ sinθ（θ∈[0,π/2]）。
③ 计算：4∫₀^(π/2) cosθ sinθ dθ ∫₀¹ r³ dr = 4·(1/2)·(1/4) = 1/2。
二重积分的计算需结合性质分析、方法选择、技巧应用三步走策略。掌握二重积分不仅是应对考研数学的工具，更是培养多维度分析能力的契机。
